Cho đa thức f(x) = ax2 +bx + c. Trong đó a, b, c là các hệ số nguyên. Biết rằng f(x) chia hết cho 3 với mọi \(x\in Z\). Chứng minh a,b,c chia hết cho 3
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Trong đó a,b,c là các hệ số nguyên. Biết rằng f(x) chia hết cho 3 với mọi \(x\in Z\). Chứng minh rằng a, b, c chia hết cho 3.
Lời giải:
Vì $f(x)$ chia hết cho $3$ với mọi \(x\in\mathbb{Z}\) nên ta có:
\(\left\{\begin{matrix} f(0)=c\vdots 3\\ f(1)=a+b+c\vdots 3 3\\ f(-1)=a-b+c\vdots 3\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c\vdots 3\\ a+b\vdots 3(1)\\ a-b\vdots 3 (2) \end{matrix}\right.\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow 2a\vdots 3\). Mà $2$ không chia hết cho $3$ nên $a$ chia hết cho $3$
Có $a+b$ chia hết cho $3$ và $a$ chia hết cho $3$ nên $b$ cũng chia hết cho $3$
Do đó ta có đpcm
Bài 6: (0,5 điểm)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c trong đó các hệ số a, b, c là các số nguyên. Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 5.
tham khảo
Vì P ( x ) = ax2ax2 + bx + c chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x nên :
P ( 0 ) ; P ( 1 ) ; P ( - 1 ) tất cả đều chia đều cho 5 .
Ta có :
P ( 0 ) chia hết cho 5
⇒ a . 02+ b . 0 + c chia hết cho 5
⇒ c chia hết cho 5
P ( 1 ) chia hết cho 5
⇒ a . 12 + b . 1 + c chia hết cho 5
⇒ a + b + c chia hết cho 5
Vì c chia hết cho 5 ⇒ a + b chia hết cho 5 ( 1 )
P ( - 1 ) chia hết cho 5
⇒ a . (−1)2(−1)2 + b . ( - 1 ) + c chia hết cho 5
⇒ a + b + c chia hết cho 5
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ⇒ a + b + a - b chia hết cho 5
⇒ 2a chia hết cho 5
Mà ƯCLN ( 2 ; 3 ) = 1 ⇒ a chia hết cho 5
Vì a + b chia hết cho 5 ; a chia hết cho 5 ⇒ b chia hết cho 5
Vậy a , b , c chia hết cho 5 . ( đpcm )
Cho đa thức F(x)=ax^2+bx+c(a,b,c là các hệ số nguyên) Chứng minh rằng nếu F(x) chia hêt cho 3 với mọi x thì các hệ số a,b,c cũng chia hết cho 3
xét x=o nên f(x) = c nên c chia hết cho 3
xét x=1 suy ra f(x) = a+b+c vì c chia hết cho 3 nên a+b chi hết cho 3 (1)
xét x =-1 suy ra f(x)=a-b+c chia hết cho 3 tương tự suy ra a-b chia hết cho 3 (2)
từ 1 và 2 suy ra a+b+a-b chia hết cho 3 nên 2a chia hết cho 3 mà (2,3)=1 nên a chia hết cho 3 nên b chia hết 3
cho đa thức : f(x)= ax^2+bx+c trong đó a;b;c là các số nguyên . Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 3 với mọi số nguyên của x . CMR : a,b,c chia hết cho 3
CHo đa thức f(x) = ax2 + bx + c ( a,b,c là các hệ số nguyên). Chứng minh răng nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi x thì các hệ số a,b,c cũng chia hết cho 3
bài này thay f(x) bằng f(0), f(1), f(-1) là dk
Cho đa thức \(f\left(x\right)=a.x^2+b.x+c\). Trong đó a, b, c là các hệ số nguyên. Biết rằng \(f\left(x\right)\)chia hết cho 3 với mọi \(x\in Z\). Chứng minh rằng a,b,c chia hết cho 3
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) = ax^2 + bx + c chia hết cho 3 với mọi x thì các hệ số a , b c đều chia hết cho 3
Ta có f(0)=c chia hết cho 3.
f(1)=a+b+c chia hết cho 3 mà c chia hết cho 3 nên a+b chia hết cho 3.
f(-1)=a-b+c chia hết cho 3=> a-b chia hết cho 3.
Ta có (a+b)+(a-b)=2a chia hết cho 3. Mà 2,3 nguyên tố cùng nhau nên a chia hết cho 3.
a+b+c chia hết cho 3, a,c chia hết cho 3=> b chia hết cho 3
Cho đa thức: f(x)= ax^2+bx+c với a,b,c là các hệ số nguyên. Chứng minh: f(x)+f(-x) chia hết 2 với mọi số nguyên x
Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(\implies\) \(f\left(-x\right)=a.\left(-x\right)^2-bx+c\)
\(\implies\) \(f\left(-x\right)=a.x^2-bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=ax^2+bx+c+ax^2-bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=2.ax^2+2c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=2.\left(ax^2+c\right)\) chia hết cho 2
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)\) chia hết cho 2 với mọi số nguyên x
Cho đa thức P(x)=\(a.x^2+b.x+c\)với a,b,c là các hệ số nguyên, Biết rằng f(x) chia hết cho 3 với mọi số nguyên x. Chứng minh rằng các số nguyên a,b,c cũng chia hết cho 3
Ta có f(0)=c chia hết cho 3
f(1)=a+b+c chia hết cho 3, mà c chia hết cho 3=> a+b chia hết cho 3.
f(-1)=a-b+c chia hết cho 3, c chia hết cho 3 => a-b chia hết cho 3.
Vì a,b,c nguyên nên a+b+a-b=2a chia hết cho 3. Do 2 và 3 nguyên tố cùng nhau => a phải chia hết cho 3.
a,c chia hết cho 3, a+b+c chia hết cho 3=> b chia hết cho 3